本文讲述了傅里叶变化的作用、基本原理以及离散傅里叶变换的使用。多图预警,如果文字不太好理解,那么看图也可以收获一些东西。

傅里叶变换的作用

傅里叶变换是整个通信行业的基石,并且广泛应用在图像处理、音视频处理、统计学、密码学等等行业。

傅里叶变换的作用是什么?

打个比方,我们历史文章有说过声音。不同人发声的频率是不一样的,男声的频率比较低,女声的频率比较高,同理尖叫频率会非常高。

此图上半部的横坐标是时间,纵坐标是幅度。此图下半部做了傅里叶变换之后的结果。

图片源自https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8

图片源自https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8

此图下半部分横坐标是频率,纵坐标是幅度,此时只需要把尖叫声相应的频率去掉,再做一下逆傅里叶变换,重新生成一个新的音频,这时的音频就没有尖叫声了。

图片源自https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8

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还有一个比方,就是三棱镜。初中的时候学过,白光是由多种颜色的光组成,不同颜色的光的波长不一样,频率也不一样。

声音是波,光也是波,不同的波长的波,频率不一样。傅里叶变换就如三棱镜,把不同频率的波给分解出来。

而想要了解傅里叶变换的思想,不得不不从公式说起……

这个公式,似乎有点眼熟,甚至是不少人的痛苦回忆……

傅里叶级数

让我们先忘了上面那个公(tong)式(ku),不妨先假设,傅里叶一开始是这么想的(傅里叶级数的公式):

任何周期性的波形,最终都可以由一个A0的直流分量,再加上不同频率的正弦波叠加而成。

?有点反直觉,下面这图,演示了如何让不同的正弦波,叠加成一个方波的:

图像来自wiki百科

图像来自wiki百科

又或者: 图片来源: http://1ucasvb.tumblr.com 可见只要正弦波够多,方波就可以足够“方”。

在数学领域,正弦波可以有无限多个,最终肯定能组成一个真正的方波。

在工程领域,由于采样点数有限,不需要制造一个完美的方波,近似就可以了。所以是可行的。

那么问题来了,三角函数里面,我们学过sin或者cos。那么sin、正弦波到底是什么?

正弦信号的两种图形化表示 (图片来源: http://1ucasvb.tumblr.com)

正弦信号的两种图形化表示 (图片来源: http://1ucasvb.tumblr.com)

有一个长度为A的极细的木棍,一直在基于坐标原点旋转,随着时间旋转,这个点在纵坐标的投影,就是sin正弦波;这个点在横坐标的投影,就是cos余弦波。

回到这个公式, 

有点明白了。公式中的An是木棍的长度(幅度Amplitude),nω是这个木棍的旋转速度(频率Frequency),φn是木棍刚开始旋转时的位置(相位Phase Angle)。如下图:

图片源自https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

图片源自https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

如何检测波是否存在

如果我们想要知道,某个频率的正弦波,是否存在于这段信号中,并且该频率的正弦波的幅度和相位是多少。

这就利用到正弦波的正交性,正交性的一个特点是:

不同频率的正弦波相乘,在一定周期内积分后,结果为0。

相同频率的正弦波相乘,在一定周期内积分后,结果不为0。

那么在这段信号中,想要获得某个频率的正弦波的幅度和相位,检波手段即为,该频率的正弦波和目标信号,相乘后积分即可

具体推导过程可以参考DBinary在zhihu上的回答 : https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211。

此刻我们需要记住的是:相乘积分

傅里叶变换

我们知道傅里叶变换是一个神奇的频率分离器……

刚才也说到检波的手段是:相乘再积分……

这个时候再看看,傅里叶正变换的公式……

我们看到了,相乘——目标函数的相乘,也有看到了积分。

但是这个e没看懂,难道这就代表正弦波?

没错,准确来讲是一个复平面的正弦波。

介绍一下复平面,如下: 图源自Wiki

横轴是实轴,纵轴是虚轴。z=x+iy, z就代表:横轴位置是x,纵轴位置是y,这样一个向量。

还记得刚才旋转的木棍吗?z是一根木棍,此时此刻,我们获得了一根静止的木棍。

但我们得让它旋转起来,这样才能得到正弦波啊。

在复数中,1乘以i,就等于i, i 再乘以 i,就是-1。 图片源自betterexplained

这是因为乘以一个i,就相当于逆时针旋转90度。

另外欧拉公式定义如下: 图源自Wiki

图源自betterexplained

图源自betterexplained

eiπ 代表了旋转了180度的位置,横坐标为-1,纵坐标为0

e2πi 代表了旋转了360度的位置,横坐标为1,纵坐标为0

e2πit 其中t代表时间,如果t的值是0.5秒的话,横坐标为-1,纵坐标为0。如果t的值是1秒的话,横坐标为1,纵坐标为0。这代表啥,代表这个木棍它随着时间转动了,而且转动频率是,一秒转动一圈。

如果加上f这个代表频率的变量,如e2iπft 如果此刻f是2的话,那么转动频率是,一秒转动两圈。

当然你想要让它顺时针旋转的话,加个负号就可以了:e − 2iπft

有时候会看到,用j替代i的情况,e − 2jπft 都是一个意思,用j表示,只是因为在物理或者电子领域,i通常被表示成电流了。

也有时候 f 即频率也会被其它字母表示(ξ),t也可能被其它字母表示,如: 

没关系,都是一个意思。

此刻我们创建的是,正弦波的复平面信号,那么它其实是立体的,三维的。

复指数信号随时间的变化轨迹:

复指数信号随时间的变化轨迹,图自《深入浅出通信原理》

复指数信号随时间的变化轨迹,图自《深入浅出通信原理》

复指数信号在复平面上的投影:

复指数信号在复平面上的投影,图自《深入浅出通信原理》

复指数信号在复平面上的投影,图自《深入浅出通信原理》

复指数信号在实轴上的投影随时间变化的曲线:

图自《深入浅出通信原理》

图自《深入浅出通信原理》

复指数信号在虚轴上的投影随时间变化的曲线:

图自《深入浅出通信原理》

图自《深入浅出通信原理》

如果不太好想象的话,网上有大佬做的动画,更加直观一点:

图源自https://www.bilibili.com/video/av19086191/

图源自https://www.bilibili.com/video/av19086191/

那么问题来了,复平面信号如何和目标函数相乘。两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单,笛卡尔坐标转换到极坐标的过程: 图源自https://1ucasvb.tumblr.com

至于相乘的过程,B站的3blue1brown的动画,也的的确确完美地表现了出来: 图源自3blue1brown

额,有点超纲了。在上一篇快速学习方法中,在学习的过程中,我们已经掌握了最小启动知识,此刻我们需要练习,那么我们可以使用离散傅里叶变换进行练习,加深理解。

离散傅里叶变换

如上,相比连续傅里叶变换中的公式,以上的离散傅里叶变换中,积分变成了上面的累加,连续的频率变化,也变成了上面的各个k个频率的采样。

better explained中有个吊炸天的网页插件,可以很方便的观察时域和频域的变化。 : https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/

因为众所周知的墙的原因,我把这个插件下载下来,放在我的github页面上了:https://github.com/Binfun/fourier_transform

下载打开html就可操作,如下:

左上角的Cycles框所显示的1 2,即为频率数据。 右上角的Time框所显示的3 -1,即为时域数据。

Cycles框中的第一个数字(图中的1)即为0Hz的直流分量的幅值,

第二个数字(图中的2)即为1Hz的正弦波的幅值,

如果有第三个数字的话,那么就代表2Hz的正弦波的幅值,以此类推3Hz 4Hz…等等。

Time框中的3 -1分别代表第1个和第2个采样点的值,即黄色的点。

灰色的直线代表0Hz的直流分量,绿色的曲线代表1Hz的正弦波,蓝色的曲线代表他们叠加的结果。

我们可以用这个工具做很多事情,比如我们可以用它来观察,为什么时域的数据移位,等同于频域的相位变化: 

没错Cycle框数字中,冒号后面的那个数字就代表相位。

甚至于,我们可以使用这段动画去理解,观察频域补零,时域插值的现象: 

好像说的有点远了,强烈建议自己亲手尝试,会有不同的感觉。

回到离散傅里叶变换的公式: 

如果有时域数据: [1, 2, 3] 的话, 那么代入公式算得频域数据的结果为:

[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 – 0.86603i]

因为时域/频域数据有3个,也就是相同频点上累加了3次,我们需要除以N就是3,进行复原:

[2 + 0i, -0.5 + 0.28868i, -0.5 – 0.28868i]

这三个复数,就代表了下面图中Cycles框中的:

2 0.58:150 0.58:-150

还记得上次说的那个木棍吗?-0.5 + 0.28868i就代表旋转速度为1Hz的木棍的起始点。

计算幅度(木棍长度):

计算相位(木棍起始位置): arctan(0.28868/-0.5) = 150度

至于代表0Hz的2 + 0i怎么理解,只有这一根木棍是不旋转的,静止的,是直流分量。

说道直流分量,我们就可以大胆地猜测,离散傅里叶变换,就是将时域信号当成周期信号处理,算得傅里叶级数的系数啊。

细心的同学可能发现,图中的正弦波当相位是0的时候,其实是cos函数,而不是sin函数。

这是因为cos反应的是实数域的情况。这个页面中,时域数据中的虚部都是0,验证也简单,把Cycle中的相位都加个90度试试,看看Time是不是都是0,这是因为时域的虚部的值都是0呀。 

读到这里,可能你觉得有些细节不太够。但也许我们已经有了点全局模糊的认识,整体框架已对,再了解细节,事半功倍。

具体细节可以参阅参考资料,巨人的肩膀,非常的精彩。

巨人的肩膀

  • 直观的数学: https://zhuanlan.zhihu.com/p/48305950
  • DBinary的回答: https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211
  • 傅里叶级数的推导: https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378
  • 动图合集: https://1ucasvb.tumblr.com/page/4
  • 直观的傅里叶变换: https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/
  • 3Blue1Brown出品: https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8
  • 正弦波三维动画: https://www.bilibili.com/video/av19086191/
  • 陈爱军:《深入浅出通信原理》

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