线性回归数学推导
一、数学基础
似然函数
概率（probability）：描述已知参数时的随机变量的输出结果；
似然函数（likelihood）：用来描述已知随机变量输出结果时，未知参数的可能取值。
\[ L(\theta | x) = f(x | \theta)\]
似然函数和密度函数是完全不同的两个数学对象，前者是关于\(\theta\)的函数，后者是关于\(x\)的函数。
高斯分布
数学期望（mean）：试验中，每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
（伯努利）大数定律：当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率。
伯努利试验：设试验E只可能有两种结果：“A”和“非A”
n重伯努利试验：将E独立的重复地进行n次,则称这一穿重复的独立试验为n重伯努利试验
二项分布（伯努利分布）：将一伯努利试验重复了n次,在这n次试验中成功次数k,k为随机变量,称为二次随机变量,其分布称为二项分布
\[ P(X = k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k} , k = 1,2,…,n\]
正态分布:又称“高斯分布”
\[ f(x) = \frac 1 {\sqrt{2 \pi }\sigma} e ^ {- \frac {(x^2-\mu^2)} {2\sigma^2}}\]
对数公式
\[ \log AB = \log A + \log B \]
矩阵计算
矩阵转置：行变列，列变行。
矩阵乘法：A的列数必须与B的行数相等
\[
A =
\left[
\begin{matrix}
a & b & c
\end{matrix} \right]
\\\\
B =
\left[
\begin{matrix}
e & f & g
\end{matrix} \right]
\\\\
A^T B = ae + bf + cg
\]
矩阵求导
\[
\frac {d( { x ^ T A X } )} {d(x)} = 2Ax
\\\\
\frac {d( { x ^ T A } )} {d(x)} = A
\\\\
\frac {d( { A x} )} {d(x)} = {A ^ T}
\]
二、推导
线性回归公式
\[
y = wx + b
\]
当存在多个特征参数的时候，不同的特征参数对目标函数值有不同的权重参数。
\[
h_\theta(x) = \theta _ 1 x _ 1 + \theta _2 x _ 2 + … + \theta _n x _ n
\\\\
= \sum_{i=1}^n\theta _ i x _ i
\]
使用矩阵来表示
\[
\theta^T x =
\left[
\begin{matrix}
\theta _ 1 \\\\
\theta _ 2 \\\\
.\\\\
.\\\\
.\\\\
\theta _ n \\\\
\end{matrix} \right]
\left[
\begin{matrix}
x _ 1 & x _ 2 & … & x _ n
\end{matrix} \right]
= \sum_{i=1}^n\theta _ i x _ i
= h_\theta(x)
\]
计算误差
误差项：真实值和预测值之间存在的一个误差，我们通常希望误差越小越好。
\[
h_\theta(x) = \theta ^ T x + \xi
\]
\[
y ^ {(i)} = \theta ^ T x ^ {(i)} + \xi ^ {(i)}
\]
误差项符合高斯分布，所以
\[
P(\xi _ i) = \frac 1 { \sqrt {2 \pi } \sigma} e ^ { – \frac { \xi ^ 2 } { 2 \sigma ^ 2}}
\]
\[
P(y _ i | x _ i ; \theta) = \frac 1 { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { – \frac { { (y _ i – \theta ^ T x _ i)} ^ 2 } {2 \sigma ^ 2 } }
\]
要计算某些参数和特征组合让误差最小，这里引入似然函数
\[
L(\theta) = \prod_{ i=1 }^{ m } P(y _ i | x _ i ; \theta) = \prod_{i=1}^{m} \frac 1 { \sqrt{2 \pi } \sigma } e ^ {- \frac { { (y _ i – \theta ^ T x _ i) } ^ 2 } { 2\sigma^2 } }
\]
\[
\log L(\theta) = \log \prod_{i=1}^{m} \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi }\sigma } e ^ { – \frac { { ( y _ i – \theta ^ T x _ i ) } ^ 2 } { 2\sigma^2 } }
\]
\[
= \sum_{i=1}^{m} \log \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi }\sigma } e ^ { – \frac { { (y _ i – \theta ^ T x _ i) } ^ 2 } { 2\sigma^2 } }
\]
\[
= \sum_{i=1}^{m} ( \log \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi }\sigma } + \log e ^ { – \frac { { ( y _ i – \theta ^ T x _ i ) } ^ 2 } { 2 \sigma ^ 2 } })
\]
\[
= m \log \frac 1 { \sqrt{ 2 \pi }\sigma } – \frac 1 { 2 { \sigma } ^ 2 } \sum_{i=1}^{m} { ( y _ i – \theta ^ T x _ i ) } ^ 2
\]
因不考虑定值，得出\(J(\theta)\)越小越好
\[
J(\theta) = \frac 1 {2} \sum_{i=1}^{m} {(y _ i – \theta ^ T x _ i)} ^ 2
\]
矩阵求偏导
根据矩阵知识，将上式转换
\[
J(\theta) = \frac 1 {2} \sum_{i=1}^{m} {(h _ \theta(x _ i) – y _ i)} ^ 2
\]
\[
= \frac 1 {2} (x \theta – y) ^ T (x \theta – y)
\]
对矩阵求偏导
\[
\partial_\theta J(\theta) = \partial _ \theta ( { \frac 1 {2} (x \theta – y) ^ T (x \theta – y) } )
\]
\[
= \partial_\theta { ( \frac 1 {2} ( \theta ^ T x ^ T – y ^ T ) (x \theta – y) ) }
\]
\[
= \partial _ \theta { ( \frac 1 {2} ( { \theta ^ T x ^ T x \theta } – { \theta ^ T x ^ T y } – {y ^ T x \theta } + {y ^ T y } ) }
\]
\[
= \frac 1 {2} ( { 2 x ^ T x \theta } – { x ^ T y } – { (y ^ T x) ^ T } )
\]
\[
= {x ^ T x \theta} – { x ^ T y}
\]
最终求解
最好的情况是，偏导数为0，说明梯度递减已经到达最底部
线性回归最优权重求解如下:
\[
\theta = {(x ^ T x) ^ {-1}} {x ^ T} y
\]