【Notes_3】现代图形学入门——基础变换、MVP变换模型
跟着闫令琪老师的课程学习，总结自己学习到的知识点
基础变换(二维)
三维变化与二维变换矩阵类似
齐次坐标下的基础变换
Scale:
s_x &0 &0\\
0 & s_y & 0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\]
Rotation:
\cos\alpha& – \sin\alpha & 0 \\
\sin\alpha & \cos \alpha &0 \\
0&0&1
\end{pmatrix}\]
Translation:
1 & 0 & t_x \\
0 &1& t_y\\
0 &0& 1
\end{pmatrix}\]
组合变换(Compositon Transform)
矩阵变换把先变化的矩阵放到右边：矩阵运算是从右向左
四元数与旋转公式
四元数
罗德里格斯旋转公式
Rodrigue’s Rotation Formula: Raotation by angle \(\alpha\) around axis \(\vec{n}\)
\begin{matrix} \underbrace{
\begin{pmatrix}
0 & -n_z & n_y \\
n_z & 0 & -n_x \\
-n_y & n_x & 0
\end{pmatrix}
} \\ N\end{matrix}\]
In the formula
I ：Identity matrix
最后乘积的结果是一个3*3的矩阵
MVP变换
Model Transformation
引用博客：MVP变换
对模型进行模型变换时，需要注意坐标系是在世界坐标系原点。当绕模型中心进行变换时，首先要将模型的中心点移动到世界坐标系的原点，之后在进行模型变换，之后移回到原来的位置。
矩阵描述为：$$M=M_t^{-1} M_r M_s M_t$$
View/Camera Transformation
这个过程是将确定相机的位置：将相机的位置通过下面的过程移动到固定的点和方向。
(1) 相机的位置固定在世界坐标系的原点： \(\vec{e}\)
(2) 相机的朝向 \(-\vec{Z}\)： \(\hat{g}\)
(3) 相机的向上方向\(\vec Y\)： \(\hat t\)
基于上述过程，要求视图变换矩阵\(M_{view}\)分别求相机的平移矩阵\(T_{view}\)、旋转矩阵\(R_{view}\)
1 & 0 & 0 & -x_{\vec{e}} \\
0 & 1 & 0 & -y_{\vec{e}} \\
0 & 0 & 1 & -z_{\vec{e}} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\]
求旋转矩阵时，直接求相机旋转到原点的矩阵不容易求解，但求原点到相机位置的旋转矩阵容易求。
所以先求原点到相机的旋转矩阵：Z To \(-\hat{g}\)、Y To \(\hat{t}\)、最后保证\(\vec{X}\) To \((\hat g \times \hat t)\) 朝向的方向，原因是保证符合右手坐标系。
x_{\hat{g} \times \hat{t}}&x_{t}&x_{-g}&0\\
y_{\hat{g} \times \hat{t}}&x_{t}&y_{-g}&0\\
z_{\hat{g} \times \hat{t}}&x_{t}&z_{-g}&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}\]
因为\(R_{view}^{-1}\)是正交矩阵，所以逆矩阵和旋转矩阵相同。
x_{\hat{g} \times \hat{t}}&y_{\hat{g} \times \hat{t}}&z_{\hat{g} \times \hat{t}}&0\\
x_{t}&y_{t}&z_{t}&0\\
x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}\]
所以
\begin{bmatrix}
x_{\hat{g} \times \hat{t}}&y_{\hat{g} \times \hat{t}}&z_{\hat{g} \times \hat{t}}&0\\
x_{t}&y_{t}&z_{t}&0\\
x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
1 & 0 & 0 & -x_{\vec{e}} \\
0 & 1 & 0 & -y_{\vec{e}} \\
0 & 0 & 1 & -z_{\vec{e}} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\]
Projection Transformation
个人理解投影变换的终极目的是让物体挤压在一个单位大小的平面(空间)内。原因先挖个坑。
Orthographic Projection
简单理解就是将物体的忽略z坐标，将模型通过Scale To [-1,-1]^2平面内。
真正的操作：
(1) 移动模型的位置到原点
(2) 缩放模型到空间[-1,1]^3中
Perspective Projection
正视投影的光线可以看成是一个立方体，如上图。透视投影的光线可以看成一个视锥，如下图。
透视变换可以分为两个步骤进行：
(1) 将视锥挤压到立方体内\(M_{persp->ortho}\)
(2) 将挤压后的视锥进行正视投影变换$M_{ortho}
挤压时的变换矩阵\(M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix}
n&0&0&0\\
0&n&0&0\\
0&0&n+f&-nf\\
0 & 0&1&0
\end{bmatrix}\)
所以投影变换矩阵
\]