JPEG解码——(6)IDCT逆离散余弦变换
本篇是该系列的第六篇，承接上篇IZigZag变换，介绍接下来的一个步骤——逆离散余弦变换，即逆零偏置前的一个步骤。
该步骤比较偏理论，其业务是对IZigZag变换后的数据，再进一步的处理，使其恢复DCT变换前的数据。
需要补充一点说明的是，上面的DCT其实是DCT2，因为jpeg编码下都是对8×8的像素块进行处理。
1. 理论
1.1. 背景
DCT，即离散余弦变换，常用图像压缩算法，步骤如下
1）分割，首先将图像分割成8×8或16×16的小块；
2）DCT变换，对每个小块进行DCT变换；
3）舍弃高频系数（AC系数），保留低频信息（DC系数）。高频系数一般保存的是图像的边界、纹理信息，低频信息主要是保存的图像中平坦区域信息。
4）图像的低频和高频，高频区域指的是空域图像中突变程度大的区域（比如目标边界区域），通常的纹理丰富区域。
1.2.算法
二维DCT变换就是将二维图像从空间域转换到频率域。形象的说，就是计算出图像由哪些二维余弦波构成。其算法如下：
其中，F就是变换得到的系数，f是图像的像素值，A是转换矩阵，其中i为二维波的水平方向频率，j为二维波的垂直方向频率，取值范围都是0-(N-1)，N是图像块的大小，其中：
即进行如下步骤的处理可以得到DCT变换后的系数矩阵：
1）求出转换矩阵A；
2）利用转换矩阵A，转换到频域，即由图像 f 得到系数矩阵F。
2. 实践
2.1. 图像上运用实现
DCT用图像上的处理，都是对8×8的像素数据块进行处理，因此，DCT2变换的转换矩阵A为：
其中，
那么转换矩阵A为：
计算如这个链接：
1 void InitTransMat()
2 {
3 int i,j;
4 float a;
5
6 for(i=0;i<MAT_SIZE;i++)
7 {
8 for(j=0;j<MAT_SIZE;j++)
9 {
10 a = 0;
11 if(i==0)
12 {
13 a=sqrt((float)1/MAT_SIZE);
14 }
15 else
16 {
17 a=sqrt((float)2/MAT_SIZE);
18 }
19 DCT_Mat[i][j]= a*cos((j+0.5)*PI*i/MAT_SIZE); //变换矩阵
20 }
21 }
22 /* only for 8x8 */
23 //float Tmp[100][100] = {
24 // {0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536,},
25 // {0.4904, 0.4157, 0.2778, 0.0975, -0.0975, -0.2778, -0.4157, -0.4904,},
26 // {0.4619, 0.1913, -0.1913, -0.4619, -0.4619, -0.1913, 0.1913, 0.4619,},
27 // {0.4157, -0.0975, -0.4904, -0.2778, 0.2778, 0.4904, 0.0975, -0.4157,},
28 // {0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536, 0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536,},
29 // {0.2778, -0.4904, 0.0975, 0.4157, -0.4157, -0.0975, 0.4904, -0.2778,},
30 // {0.1913, -0.4619, 0.4619, -0.1913, -0.1913, 0.4619, -0.4619, 0.1913,},
31 // {0.0975, -0.2778, 0.4157, -0.4904, 0.4904, -0.4157, 0.2778, -0.0975,},
32 //};
33 //for (int i=0; i<8; i++)
34 // for (int j=0; j<8; j++)
35 // DCT_Mat[i][j] = Tmp[i][j];
36 }
2.2. IDCT2—— 由F求f的过程
前篇文章已介绍了由IZigZag变换后得到的系数矩阵F，那么要恢复原数据，就要进行如下变换：
算法的C语言描述如下：
1 int IDCT2(float (*dst)[8], int (*block)[8], bool dump)
2 {
3 float trans_matrix[8][8] = {
4 {0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536, 0.3536,},
5 {0.4904, 0.4157, 0.2778, 0.0975, -0.0975, -0.2778, -0.4157, -0.4904,},
6 {0.4619, 0.1913, -0.1913, -0.4619, -0.4619, -0.1913, 0.1913, 0.4619,},
7 {0.4157, -0.0975, -0.4904, -0.2778, 0.2778, 0.4904, 0.0975, -0.4157,},
8 {0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536, 0.3536, -0.3536, -0.3536, 0.3536,},
9 {0.2778, -0.4904, 0.0975, 0.4157, -0.4157, -0.0975, 0.4904, -0.2778,},
10 {0.1913, -0.4619, 0.4619, -0.1913, -0.1913, 0.4619, -0.4619, 0.1913,},
11 {0.0975, -0.2778, 0.4157, -0.4904, 0.4904, -0.4157, 0.2778, -0.0975,},
12 };
13
14 float tmp[8][8];
15
16 float t=0;
17 int i,j,k;
18 for(i=0;i<8;i++) //same as A'*I
19 {
20 for(j=0;j<8;j++)
21 {
22 t = 0;
23 for(k=0; k<8; k++)
24 {
25 t += trans_matrix[k][i] * block[k][j]; //trans_matrix's ith column * block's jth column
26 }
27 tmp[i][j] = t;
28 }
29 }
30
31 for(i=0; i<8; i++) //same as tmp*A
32 {
33 for(j=0; j<8; j++)
34 {
35 t=0;
36 for(k=0; k<8; k++)
37 {
38 t += tmp[i][k] * trans_matrix[k][j];
39 }
40 dst[i][j] = t;
41 }
42 }
43
44 if (dump) {
45 puts("----after idct2----");
46 for (i=0; i<8; i++) {
47 for (j=0; j<8; j++) {
48 printf("%3.4f ", dst[i][j]);
49 }
50 puts("");
51 }
52 puts("");
53 }
54
55 return 0;
56 }
2.3. 例子实践
根据前篇文章的IZigZag结果恢复数据，如下：
有没有注意到许多值是近似相等的？
3. 篇外补充
正是图像上这种特性，才有了图像压缩的这种方法——空间去冗余。
但是，需要说明一点的是，DCT2/IDCT2不是有损失压缩（压缩是数据量降低的概念，有损/无损是转换前后信息是否丢失的概念），因为它可以完全恢复数据，只是这种变换将图像在空间域/频率域之间转换。
空间域的数据量很多，但是经DCT2转换后，数据量变得非常少（非0数据），这个例子可能看的还不是太直观但有了初步雏形。
在这里，要特别感谢傅里叶这位法国数学家，正是因为他的出色工作，才使得如今的最常见的图像压缩技术变成了现实。
正可谓，前人栽树后人乘凉。前人的理论成果，后人在应用上开花结果。