01背包问题的详细概述 - William_xh
对于背包问题，林喵喵推荐我看了dd大佬的背包九讲，在此附上链接：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/8142876
网上应该有下载的版本：https://wenku.baidu.com/view/7c1ed28dbd64783e08122b65.html
然后花了一个晚上和一个上午的时间，终于对最简单的01背包问题有了一点点自己的理解，在此进行一些自己的解释。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
题目描述：
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
| name | weight | value | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| a | 2 | 6 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 15 | 15 | 15 |
| b | 2 | 3 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 10 | 11 |
| c | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 11 |
| d | 5 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 10 |
| e | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。（如果是第一次学01背包，请务尝试必手写这张表）
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。（这个就是在循环中的一个判断（if（v[i]<=j）））
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？
根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，
一个是f[i-1,j],(就是在这个物品放得下的前提下，我们不放这个物品，可以理解为，这个物品占空间位置大，且价值小)对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi（表示我要把这个物品放入背包，那就是为这个物品腾出空间，然后看在j-wi的空间下，放I-1件物品的时候，最大的价值是多少，把那个最大+wj）；
在这里，
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包。
大概就是这样，如果有什么问题，我今后再补充。
文章参考：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810