OpenGL学习脚印: 投影矩阵和视口变换矩阵(math-projection and viewport matrix)
写在前面
前面几节分别介绍了模型变换，视变换，本节继续学习OpenGL坐标变换过程中的投影变换。这里主要是从数学角度推导投影矩阵。对数学不感兴趣的，可以稍微了解下，或者跳过本节内容。
本文主要翻译并整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文，这里对他的推导思路稍微进行了整理。
通过本节可以了解到
- 透视投影矩阵的推导
- 正交投影矩阵的 推导
- 视口变换矩阵的推导
- zFighting问题
投影变换
OpenGL最终的渲染设备是2D的，我们需要将3D表示的场景转换为最终的2D形式，前面使用模型变换和视变换将物体坐标转换到照相机坐标系后，需要进行投影变换，将坐标从相机—》裁剪坐标系，经过透视除法后，变换到规范化设备坐标系(NDC)，最后进行视口变换后，3D坐标才变换到屏幕上的2D坐标，这个过程如下图所示：
投影变换通过指定视见体(viewing frustum)来决定场景中哪些物体将可能会呈现在屏幕上。在视见体中的物体会出现在投影平面上，而在视见体之外的物体不会出现在投影平面上。投影包括很多类型，OpenGL中主要考虑透视投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。两者之间存在很大的区别，如下图所示(图片来自Modern OpenGL)：
上面的图中，红色和黄色球在视见体内，因而呈现在投影平面上，而绿色球在视见体外，没有在投影平面上成像。
指定视见体通过(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6个参数来指定。注意在相机坐标系下，相机指向-z轴，nearVal和farVal表示的剪裁平面分别为:近裁剪平面，以及远裁剪平面。推导投影矩阵，就要利用这6个参数。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。
透视投影矩阵的推导
透视投影中，相机坐标系中点被映射到一个标准立方体中，即规范化设备坐标系中，其中，映射到[-1,1]中，以及被映射到，如下图所示：
注意到上面的相机坐标系为右手系，而NDC中+z轴向内，为左手系。
我们的目标
求出投影矩阵的目标就是要找到一个透视投影矩阵P使得下式成立：
上面的除以过程被称为透视除法。要找到我们需要的矩阵P，我们需要利用两个关系:
- 投影位置,和相机坐标系中点,z_{p}=-nearVal$。
- 利用，和关系求出。
- 利用与关系得出
计算投影平面上的位置
投影时原先位于相机坐标系中的点投影到投影平面后，得到点。具体过程如下图所示：
需要空间想象一下，可以得出左边的图是俯视图，右边是侧视图。
利用三角形的相似性，通过俯视图可以计算得到:
即:
同理通过侧视图可以得到：
由(1)(2)这个式子可以发现，他们都除以了这个量，并且与之成反比。这可以作为透视除法的一个线索，因此我们的矩阵P的形式如下：
也就是说。
下面利用投影点和规范化设备坐标的关系计算出矩阵P的前面两行。
对于投影平面上满足线性映射到对于满足线性映射到。
其中的映射关系如下图所示：
则可以得到的线性关系：
将(r,1)带入上式得到：
带入式子3得到：
将式子1带入式子5得到：
由式子6可以得到:
对于的映射关系如下：
同理也可以计算得到:
由式子7和9可以得到矩阵P的前两行和第四行为：
由于投影到平面时结果都为，因此寻找与之前的x,y分量不太一样。我们知道与x,y分量无关，因此上述矩阵P可以书写为：
则有：,由于相机坐标系中，则可以进一步书写为：
要求出系数A,B则，利用与的映射关系为：(-n，-1)和(-f,1)，代入式子10得到：
和，
则与的关系式表示为：
将A，B代入矩阵P得到：
上述矩阵时一般的视见体矩阵，如果视见体是对称的，即满足，则矩阵P可以简化为：
使用Fov指定的透视投影
另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov)，宽高比(Aspect)来指定透视投影，例如旧版中函数gluPerspective，参数形式为：
API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);
其中指定fovy指定视角，aspect指定宽高比，zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示(来自opengl 投影)：
这些参数指定的是一个对称的视见体，如下图所示(图片来自Working with 3D Environment)：
由这些参数，可以得到：
对应上述透视投影矩阵中：
则得到透视投影矩阵为：
正交投影矩阵的推导
相比于透视投影，正交投影矩阵的推导要简单些，如下图所示：
对于正交投影，有，因而可以直接利用与的映射关系：，利用和的映射关系：，以及和的映射关系：。例如与的映射关系表示为如下图所示：
利用得到:
同理可得到y,z分量的关系式为：
对于正交投影而言，w成分是不必要的，保持为1即可，则所求投影矩阵第四行为(0,0,0,1)，w保持为1，则NDC坐标和剪裁坐标相同，从而得到正交投影矩阵为:
如果视见体是对称的，即满足，则矩阵O可以简化为：
利用平移和旋转推导正交投影矩阵
还可以看做把视见体的中心移动到规范视见体的中心即原点处，然后缩放视见体使得它的每条边长度都为2，进行这一过程的变换表示为：
视口变换矩阵的推导
视变换是将NDC坐标转换为显示屏幕坐标的过程，如下图所示：
视口变化通过函数:
glViewport(GLint , GLint , GLsizei , GLsizei );
glDepthRangef(GLclampf , GLclampf );
两个函数来指定。其中(,)表示窗口的左下角，和 指定远近剪裁平面到屏幕坐标的映射关系。
使用线性映射关系如下：
求出线性映射函数为:
则由上述式子得到视口变换矩阵为：
Zfighting问题
回过头去看透视投影部分，与的关系式1.10：
这是一个非线性关系函数，作图如下：
从左边图我们可以看到，在近裁剪平面附近值变化比较大，精确度较好；而在远裁剪平面附近，有一段距离内，近乎持平，精确度不好。当增大远近裁剪平面的范围后，如右边图所示，我们看到在远裁剪平面附近，不同相机坐标对应的相同，精确度低的现象更为明显，这种深度的精确度引起的问题称之为zFighting。要尽量减小[-n,-f]的范围，以减轻zFighting问题。
本节参考资料
- songho OpenGL Projection Matrix
- GLSL Programming/Vertex Transformations
- glOrtho
- glFrustum
- gluPerspective
相关资源
1.The Perspective and Orthographic Projection Matrix
2.OpenGL 101: Matrices – projection, view, model
3.Calculating the gluPerspective matrix and other OpenGL matrix maths