三角函数公式
设角 \(\alpha\) 的终边与单位圆交于点 \(P(x,y)\) ，则有
\[\sin{\alpha}=y,\cos{\alpha}=x
\]
\]
\[\tan{\alpha}=\frac{y}{x},\cot{\alpha}=\frac{x}{y}
\]
\]
\[\sec{\alpha}=\frac{1}{x},\csc{\alpha}=\frac{1}{y}
\]
\]
同角三角函数的基本关系
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倒数关系
\[\tan{\alpha} \cot{\alpha}=1
\]\[\sin{\alpha} \csc{\alpha}=1
\]\[\cos{\alpha} \sec{\alpha}=1
\] -
商的关系
\[\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\tan{\alpha}=\frac{\sec{\alpha}}{\csc{\alpha}}=\frac{1}{\cot{\alpha}}
\] -
平方关系
\[\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1
\]
诱导公式
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。
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\(\alpha\) 与 \(\alpha + \pi\) 间三角函数值的关系
\[\sin{(\alpha + \pi)}=-\sin{\alpha}
\]\[\cos{(\alpha + \pi)}=-\cos{\alpha}
\]\[\tan{(\alpha+\pi)}=\tan{\alpha}
\]\[\cot{(\alpha+\pi)}=\cot{\alpha}
\] -
\(\alpha\) 与 \(-\alpha\) 间三角函数值的关系
\[\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}
\]\[\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}
\]\[\tan{(-\alpha)}=-\tan{\alpha}
\]\[\cot{(-\alpha)}=-\cot{\alpha}
\] -
\(\alpha\) 与 \(\pi-\alpha\) 间三角函数的关系
\[\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}
\]\[\cos(\pi-\alpha)=-\cos{\alpha}
\]\[\tan(\pi-\alpha)=-\tan{\alpha}
\]\[\cot{(\pi-\alpha)}=-\cot{\alpha}
\] -
\(\alpha\) 与 \(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\) 间三角函数的关系
\[\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=\cos{\alpha}
\]\[\cos{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\alpha}
\]\[\tan{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\cot{\alpha}
\]\[\cot{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\tan{\alpha}
\]\[\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cos{\alpha}
\]\[\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin{\alpha}
\]\[\tan{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cot{\alpha}
\]\[\cot{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\tan{\alpha}
\]
三角函数的和差公式
\[\cos{(x\pm y)}=\cos{x}\cos{y} \ \mp \ \sin{x}\sin{y}
\]
\]
\[\sin(x\pm y)=\sin{x}\sin{y} \ \pm \ \cos{x}\cos{y}
\]
\]
\[\tan{(x\pm y)}=\frac{\tan{x} \ \pm \ \tan{y}}{1 \ \mp \ \tan{x}\tan{y}}
\]
\]
倍角公式
\[\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}
\]
\]
\[\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2cos^2{x}-1=1-2\sin^2{x}
\]
\]
\[\tan{2x}=\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}
\]
\]
降幂公式
\[\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}
\]
\]
\[\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos{x}}{2}
\]
\]
\[\tan^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}
\]
\]
升幂公式
\[1+\cos{2x}=2\cos^2{x}
\]
\]
\[1-\cos{2x}=2\sin^2{x}
\]
\]
辅助角公式
\[a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(x+\varphi)}
\]
\]
其中， \(\cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ， \(\sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) 。
万能公式
\[\cos{x}=\frac{1-\tan^2{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}
\]
\]
\[\sin{x}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}}
\]
\]
\[\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1-\tan^2{\frac{x}{2}}}
\]
\]
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