如何计算任意多边形的面积？
对二维平面上的一个多边形\(\Phi\)的顶点按顺序（顺时针或逆时针）编号为\(P_1,P_2, \cdots ,P_n\)。为了方便，定义\(P_{n+1}=P_1\)，记\(P_i\)的坐标为\((x_i,y_i)\)。则该多边形的面积为
\[A=\frac{1}{2}\left | \sum_{i=1}^{n} x_iy_{i+1}+x_{i+1}y_i \right |=\frac{1}{2}\left | \sum_{i=1}^{n} P_i\times P_{i+1} \right |
\]
\]
证明（用格林公式）：
\[\begin{align}\notag
A&=\int_{\Phi}dA
=\int_{\Phi}dxdy\\\notag
&=\int_{\Phi}d(xdy)=\int_{\partial\Phi}xdy\\\notag
&=\sum_{i=1}^{n}\int_0^1[(1-t)x_i+tx_{i+1}](y_{i+1}-y_i)dt\\\notag
&=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(x_{i+1}y_{i+1}-x_{i+1}y_i-x_iy_{i+1}+x_iy_i)+x_iy_{i+1}-x_iy_i\\\notag
&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_{i+1}y_{i+1}-x_iy_i)
\end{align}
\]
A&=\int_{\Phi}dA
=\int_{\Phi}dxdy\\\notag
&=\int_{\Phi}d(xdy)=\int_{\partial\Phi}xdy\\\notag
&=\sum_{i=1}^{n}\int_0^1[(1-t)x_i+tx_{i+1}](y_{i+1}-y_i)dt\\\notag
&=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(x_{i+1}y_{i+1}-x_{i+1}y_i-x_iy_{i+1}+x_iy_i)+x_iy_{i+1}-x_iy_i\\\notag
&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_{i+1}y_{i+1}-x_iy_i)
\end{align}
\]
后一个求和中各项相互抵消，所以
\[A=\frac{1}{2}\left ( \sum_{i=1}^{n} x_iy_{i+1}+x_{i+1}y_i \right )
\]
\]
考虑到顶点的方向不一定是正向的，再套上一对绝对值符号。这就完成了证明。
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