常用概率分布简介
概要
在统计分析中，经常会有假设参数服从某种分布，所以在此文中，参考《概率论与数理统计》（茆诗松著），简单罗列一下经常碰到的分布，做下简单介绍，并且结合 Python 中 Scipy.stats 模块进行模拟。将要介绍的分布目录如下：
二项分布
泊松分布
正态分布
多元正态分布
均匀分布
指数分布
伽玛分布
贝塔分布
卡方分布
\(F\) 分布
\(t\) 分布
二项分布
描述
可以简单理解为 \(n\) 重伯努利试验中成功（概率为 \(p\)）的次数的分布，记为 \(X\)，则 \(X\) 可能取值为 \(0,1,\cdots,n\)。二项分布概率密度函数为：
\begin{align}
P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2,\cdots,n
\end{align}
记为 \(X \sim b(n,p)\)。其期望、方差为：
\begin{align}
E(X) &= np \\
Var(X) &= np(1-p)
\end{align}
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import binom
fig = plt.figure()
for i, item in enumerate([(10, 0.2), (10, 0.5), (10, 0.8)]):
n, p = item
# stats 函数返回均值、方差、偏度、峰值，可以根据 moments 参数设置返回哪些值，
# 其值为均值、方差、偏度、峰值的首字母，可自己随意组合，比如 \'mv\'，\'vsk\' 等
mean, var, skew, kurt = binom.stats(n, p, moments=\'mvsk\')
# ppf: Percent point function
x = np.arange(binom.ppf(0.01, n, p), binom.ppf(0.99, n, p))
ax = fig.add_subplot(1, 3, i+1)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pmf: Probability mass function
ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p), \'bo\', ms = 8)
if i == 0:
ax.text(2.5, 0.25, u\'偏度 = \'+str(skew)[:5])
ax.text(2.5, 0.23, u\'峰度 = \'+str(kurt)[:5])
ax.set_xlabel(r\'$b(10, 0.2)$\'+u\'的线条图（右偏）\')
if i == 1:
ax.text(1.5, 0.21, u\'偏度 = \'+str(skew)[:5])
ax.text(1.5, 0.19, u\'峰度 = \'+str(kurt)[:5])
ax.set_xlabel(r\'$b(10, 0.5)$\'+u\'的线条图（对称）\')
if i == 2:
ax.text(5, 0.25, u\'偏度 = \'+str(skew)[:6])
ax.text(5, 0.23, u\'峰度 = \'+str(kurt)[:5])
ax.set_xlabel(r\'$b(10, 0.8)$\'+u\'的线条图（左偏）\')
ax.vlines(x, 0, binom.pmf(x, n, p), \'b\', lw = 5, alpha=0.5)
plt.show()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
# r = binom.rvs(n, p, loc = 0, size = 1, random_state = None )
结果如下图：
图1：二项分布 $b(n,p)$ 的线条图
从上图可以看出：
- 位于均值 \(np\) 附近概率较大
- 随着 \(p\) 的增加，分布的峰逐渐右移
泊松分布
描述
泊松分布的概率分布列是
\begin{align}
P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, \qquad k=0,1,2,\cdots
\end{align}
其中参数 \(\lambda >0\)，记为 \(X \sim P(\lambda)\)。期望、方差为
\begin{align}
E(X) &= \lambda \\
Var(X) &= \lambda
\end{align}
也就是说，泊松分布 \(P(\lambda)\) 中的参数 \(\lambda\) 既是数学期望又是方差。
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import poisson
fig = plt.figure()
for i, mu in enumerate([0.8, 2.0, 4.0]):
# stats 函数返回均值、方差、偏度、峰值，可以根据 moments 参数设置返回哪些值，
# 其值为均值、方差、偏度、峰值的首字母，可自己随意组合，比如 \'mv\'，\'vsk\' 等
mean, var, skew, kurt = poisson.stats(mu, moments=\'mvsk\')
# ppf: Percent point function
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu), poisson.ppf(0.99, mu))
ax = fig.add_subplot(1, 3, i+1)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pmf: Probability mass function
ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu), \'bo\', ms = 8)
if i == 0:
ax.text(1.2, 0.3, u\'偏度 = \'+str(skew)[:5])
ax.text(1.2, 0.27, u\'峰度 = \'+str(kurt)[:5])
ax.set_xlabel(r\'$P(0.8)$\'+u\'的线条图\')
if i == 1:
ax.text(2.5, 0.22, u\'偏度 = \'+str(skew)[:5])
ax.text(2.5, 0.20, u\'峰度 = \'+str(kurt)[:5])
ax.set_xlabel(r\'$P(2.0)$\'+u\'的线条图\')
if i == 2:
ax.text(6, 0.14, u\'偏度 = \'+str(skew)[:6])
ax.text(6, 0.13, u\'峰度 = \'+str(kurt)[:5])
ax.set_xlabel(r\'$P(4.0)$\'+u\'的线条图\')
ax.vlines(x, 0, poisson.pmf(x, mu), \'b\', lw = 5, alpha=0.5)
plt.show()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
# r = poisson.rvs(mu, loc = 3, size=10)
结果如下图：
图2：泊松分布 $P(\lambda)$ 的线条图
从上图可以看出：
- 位于均值 \(\lambda\) 附近概率较大
- 随着 \(\lambda\) 的增加，分布逐渐趋于对称
正态分布
描述
正态分布的概率密度函数为：
\begin{align}
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \mathrm{e}{-\dfrac{(x-\mu)2}{2\sigma^2}},\qquad -\infty < x< + \infty
\end{align}
记作 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。期望、方差分别为 \(\mu\)，\(\sigma^2\)。
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import norm
rv1 = norm(0, 0.5) # 这样可固定参数，方便在后边直接引用
rv2 = norm(0, 1.0)
rv3 = norm(0, 1.5)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
# stats 函数返回均值、方差、偏度、峰值，可以根据 moments 参数设置返回哪些值，
# 其值为均值、方差、偏度、峰值的首字母，可自己随意组合，比如 \'mv\'，\'vsk\' 等
# mean, var, skew, kurt = rv1.stats(moments=\'mvsk\')
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(rv1.ppf(0.01), rv1.ppf(0.99), 100)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
ax.vlines(0, 0, rv1.pdf(0), lw = 5, alpha = 0.6)
ax.set_ylim(0,1)
ax.set_xticks([])
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), \'r-\', lw = 5, alpha = 0.6, label=r\'$\sigma^2$ = 0.5\')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), \'g-\', lw = 5, alpha = 0.6, label=r\'$\sigma^2$ = 1.0\')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), \'b-\', lw = 5, alpha = 0.6, label=r\'$\sigma^2$ = 1.5\')
plt.legend()
ax.set_xlabel(r\'$\mu$\'+u\'固定，\'+r\'$\sigma$ 值改变\')
plt.show()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
# r = rv1.rvs(size=10)
结果如下图：
图3：正态密度函数
从上图可以看出：
- 如果固定 \(\mu\)，改变 \(\sigma\) 的值，则 \(\sigma\) 愈小，曲线呈高而瘦，\(\sigma\) 愈大，曲线呈矮而胖，也就是说正态密度函数的尺度由参数 \(\sigma\) 所确定，因此 \(\sigma\) 称为尺度参数。
多元正态分布
描述
多元正态分布的概率密度函数为：
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \mathrm{det} \, \Sigma}} \mathrm{exp} \left( – \dfrac{1}{2} (x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu) \right)
\end{align}
称为 \(k\) 元随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\mu\) 和 \(\Sigma\) 的多元正态分布，记为 \(X \sim N_k(\mu, \Sigma)\)，称 \(N_k(0, I)\) 为 \(k\) 元标准正态分布。期望、协方差分别为 \(\mu\) 和 \(\Sigma\)。其中有一个性质是 \((x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu) \sim \mathcal{X}^2_k\)。
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal
x, y = np.mgrid[-1:1:0.01, -1:1:0.01]
pos = np.dstack((x, y))
rv = multivariate_normal([0.5, -0.2], [[2.0, 0.3], [0.3, 0.5]]) # 均值和协方差
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pdf: Probability density function
ax.contourf(x, y , rv.pdf(pos), 100, cmap = \'hot\') # 100 控制等位线间距
plt.show()
结果如下图：
图 4：二元正态分布的等位图
均匀分布
描述
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\begin{align}
p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, \qquad a < x< b \\ 0, \qquad others \end{cases}
\end{align}
则称 \(X\) 服从区间 \((a,b)\) 上的均匀分布，记作 \(X \sim U(a, b)\)。其期望、方差为：
\begin{align}
E(X) &= \frac{a+b}{2} \\
Var(X)&= \frac{(b-a)^2}{12}
\end{align}
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import uniform
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(uniform.ppf(0.01), uniform.ppf(0.99), 100)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
rv = uniform()
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv.pdf(x), \'r-\', lw = 5, alpha = 0.6, label = \'uniform pdf\')
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
r = rv.rvs(size = 1000)
ax.hist(r, normed = True, histtype = \'stepfilled\', alpha = 0.2)
plt.legend()
plt.show()
结果如下图：
图 5：均匀分布 $U(0, 1)$ 的概率密度图
指数分布
描述
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\begin{align}
p(x) = \begin{cases} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, \qquad x \geqslant 0 \\ 0, \qquad x<0 \end{cases}
\end{align}
则称 \(X\) 服从指数分布，记作 \(X \sim Exp(\lambda)\)，其中参数 \(\lambda >0\)。其期望、方差为：
\begin{align}
E(X) &= \frac{1}{\lambda} \\
Var(X)&= \frac{1}{\lambda ^2}
\end{align}
指数分布具有无记忆性。
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import expon
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(expon.ppf(0.01), expon.ppf(0.99), 100)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
rv = expon()
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv.pdf(x), \'r-\', lw = 5, alpha = 0.6, label = \'expon pdf\')
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
r = rv.rvs(size = 1000)
ax.hist(r, normed = True, histtype = \'stepfilled\', alpha = 0.2)
plt.legend()
plt.show()
结果如下图：
图 6：指数分布 $Exp(1)$ 的概率密度图
伽玛分布
描述
称以下函数
\begin{align}
\Gamma(\alpha) = \int _0^{+\infty} x{\alpha-1}\mathrm{e}{-x} \, \mathrm{d}x \
\end{align}
为伽玛函数，其中参数 \(\alpha>0\)。伽玛函数具有以下性质：
- \(\Gamma(1) = 1\)，\(\Gamma(\dfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\)
- \(\Gamma(\alpha+1) = \alpha \Gamma(\alpha)\)，当 \(\alpha\) 为自然数 \(n\) 时，有 \(\Gamma(n+1) = n!\)
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\begin{align}
p(x) = \begin{cases} \dfrac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, \qquad x \geqslant 0 \\ 0, \qquad x<0 \end{cases}
\end{align}
则称 \(X\) 服从伽玛分布，记作 \(X \sim Ga(\alpha, \lambda)\)，其中参数 \(\alpha >0\) 为形状参数，\(\lambda>0\) 为尺度参数。其期望、方差为：
\begin{align}
E(X) &= \dfrac{\alpha}{\lambda} \\
Var(X)&= \frac{\alpha}{\lambda ^2}
\end{align}
伽玛分布有两个常用的特例：
- \(\alpha=1\) 时的伽玛分布就是指数分布，即 \(Ga(1, \lambda) = Exp(\lambda)\)
- 称 \(\alpha = \dfrac{n}{2}\)，\(\lambda = \dfrac{1}{2}\) 时的伽玛分布是自由度为 \(n\) 的卡方分布，即 \(Ga(\dfrac{n}{2}, \dfrac{1}{2}) = \mathcal{X}^2(n)\)
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import gamma
rv = gamma(0.5, 1)
rv1 = gamma(1., 1)
rv2 = gamma(1.5, 1)
rv3 = gamma(2., 1)
rv4 = gamma(3., 1)
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(rv3.ppf(0.01), rv.ppf(0.999), 100)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv.pdf(x), \'r-\', lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$\alpha=0.5$\')
ax.plot(x, rv1.pdf(x), \'k-\', lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$\alpha=1.0$\')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), \'b-\', lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$\alpha=1.5$\')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), \'g-\', lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$\alpha=2.0$\')
ax.plot(x, rv4.pdf(x), \'c-\', lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$\alpha=3.0$\')
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
#r = rv.rvs(size = 1000)
plt.legend()
plt.show()
结果如下图：
图 7：$\lambda=1$ 固定、不同 $\alpha$ 和伽玛密度函数曲线
从图中可以看出：
- 当 \(0<\alpha<1\) 时，\(p(x)\) 是严格下降函数，且在 \(x=0\) 处有奇异点
- 当 \(\alpha =1\) 时，\(p(x)\) 是严格下降函数，且在 \(x=0\) 处 \(p(0)=\lambda\)
- 当 \(1<\alpha \leqslant 2\) 时，\(p(x)\) 是单峰函数，先上凸、后下凸
- 当 \(2 \leqslant \alpha\) 时，\(p(x)\) 是单峰函数，先下凸、中间上凸、后下凸，且 \(\alpha\) 越大，\(p(x)\) 越近似于正态密度
贝塔分布
描述
称以下函数
\begin{align}
B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} \,\mathrm{d} x
\end{align}
为贝塔函数，其中参数 \(a>0\)，\(b>0\) 。贝塔函数具有如下性质：
-
\(B(a,b)=B(b,a)\)
–\(B(a,b)=\dfrac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)
若随机变量 \(X\) 的密度函数为
\begin{align}
p(x) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} x{a-1}(1-x){b-1}, \qquad 0< x <1 \\ 0, \qquad others \end{cases}
\end{align}
则称 \(X\) 服从贝塔分布，记作 \(X \sim Be(a, b)\)，其中参数 \(a>0\)，\(b>0\)，两者都为形状参数。其期望、方差为：
\begin{align}
E(X) &= \frac{a}{a+b} \\
Var(X)&= \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}
\end{align}
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import beta
rv1 = beta(0.5, 0.5)
rv2 = beta(1.5, 1.5)
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(0, 1, 100)
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(111)
ax1.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax1.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pdf: Probability density function
ax1.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$a=0.5, b=0.5$\')
ax1.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$a=1.5, b=1.5$\')
ax1.vlines(1, 0, rv1.pdf(0.999), linestyles = \'dashed\', lw = 3, alpha=0.6)
ax1.legend()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
#r = rv.rvs(size = 1000)
plt.show()
结果如下图：
图 8：均匀分布 $U(0, 1)$ 的概率密度图
从上图可以看出：
- \(a<1,b<1\) 时，\(p(x)\) 是下凸的单峰函数
- \(a>1,b>1\) 时，\(p(x)\) 是上凸的单峰函数
- \(a<1,b\geqslant 1\) 时，\(p(x)\) 是下凸的单调减函数
- \(a\geqslant 1,b<1\) 时，\(p(x)\) 是下凸的单调增函数
- \(a=1,b=1\) 时，\(p(x)\) 是常函数，且 \(Be(1,1)=U(0,1)\)
卡方分布
描述
设 \(X_1,X_2, \cdots,X_n\) 独立同分布于标准正态分布 \(N(0,1)\)，则 \(\mathcal{X}^2 = X_1^2+\cdots+X_n^2\) 的分布称为自由度为 \(n\) 的 \(\mathcal{X}^2\) 分布，记为 \(\mathcal{X}^2 \sim \mathcal{X}^2(n)\)。
若 \(X \sim N(0, 1)\)，则 \(X^2 \sim Ga(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})\)，根据伽玛分布的可加独立性有 \(\mathcal{X}^2 \sim Ga(\dfrac{n}{2}, \dfrac{1}{2})=\mathcal{X}^2(n)\)，由此可见，\(\mathcal{X}^2\) 分布是伽玛分布的特例，故 \(\mathcal{X}^2(n)\) 分布 的密度函数为
\begin{align}
p(y) = \dfrac{(1/2){\dfrac{n}{2}}}{\Gamma(n/2)}y{\dfrac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{-\dfrac{y}{2}}, \qquad y>0
\end{align}
该密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布。其期望等于自由度、方差为两倍的自由度，即：
\begin{align}
E(X) &= n \\
Var(X)&= 2n
\end{align}
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import chi2
rv1 = chi2(4)
rv2 = chi2(6)
rv3 = chi2(10)
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(rv2.ppf(0.01), rv2.ppf(0.99), 100)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$n=4$\')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$n=6$\')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$n=10$\')
ax.legend()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
#r = rv.rvs(size = 1000)
plt.show() ![]()
结果如下图：
图 9：卡方分布 $\mathcal{X}^2(n)$ 的概率密度图
\(F\) 分布
描述
设 \(X_1 \sim \mathcal{X}^2(m)\)， \(X_2 \sim \mathcal{X}^2(n)\)，\(X_1\) 与 \(X_2\) 独立，则称 \(F = \dfrac{X_1 / m}{X_2 / n}\) 的分布是自由度为 \(m\) 与 \(n\) 的 \(F\) 分布，记为 \(F \sim F(m,n)\)，其中 \(m\) 称为分子自由度，\(n\) 称为分母自由度。
其密度函数为
\begin{align}
p(y) = \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{m+n}{2} \right) \left( \dfrac{m}{n}\right)^{\dfrac{m}{2}}}{\Gamma\left(\dfrac{m}{2} \right)\Gamma\left(\dfrac{n}{2} \right)} y^{\dfrac{m}{2}-1} \left( 1+ \dfrac{m}{n}y \right)^{-\dfrac{m+n}{2}} , \qquad y > 0
\end{align}
该密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布。由 \(F\) 分布的构造知，若 \(F\sim F(m,n)\)，则有 \(1/F \sim F(n,m)\)。经验证 \(F\) 分布的期望与方差不一定存在，详细的有待考证。
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import f
rv1 = f(4, 1)
rv2 = f(4, 4)
rv3 = f(4, 10)
rv4 = f(4, 4000)
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(rv2.ppf(0.01), rv2.ppf(0.9), 100)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$m=4, n=1$\')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$m=4, n=4$\')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$m=4, n=10$\')
ax.plot(x, rv4.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$m=4, n=4000$\')
ax.legend()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
#r = rv.rvs(size = 1000)
plt.show()
结果如下图：
图 10：$F$ 分布 $F(m, n)$ 的概率密度图
\(t\) 分布
描述
设随机变量 \(X_1\) 与 \(X_2\) 独立且 \(X_1 \sim N(0,1)\)， \(X_2 \sim \mathcal{X}^2(n)\)，则称 \(t = \dfrac{X_1}{\sqrt{X_2 / n}}\) 的分布是自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布，记为 \(t \sim t(n)\)。由标准正态密度函数的对称性知，\(X_1\) 与 \(-X_1\) 有相同分布，从而 \(t\) 与 \(-t\) 有相同分布。其密度函数为
\begin{align}
p(y) = \dfrac{\Gamma\left(\dfrac{n+1}{2} \right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\dfrac{n}{2} \right)} \left( 1+ \dfrac{y2}{n}\right){-\dfrac{n+1}{2}} , \qquad -\infty < y < +\infty
\end{align}
\(t\) 分布的密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。且有以下结论：
- 自由度为 \(1\) 的 \(t\) 分布就是标准柯西分布，它的均值不存在
- \(n>1\) 时，\(t\) 分布的数学期望存在且为 \(0\)
- \(n>2\) 时，\(t\) 分布的方差存在，且为 \(\dfrac{n}{n-2}\)
- 当自由度较大（如 \(n\geqslant 30\) ）时，\(t\) 分布可以用 \(N(0,1)\) 分布近似
实验模拟
python 代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Apr 18 22:36:31 2018
@author: zhoukui
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import t
from scipy.stats import norm
rv1 = t(1)
rv2 = t(2)
rv3 = t(4)
rv4 = norm()
# ppf: Percent point function
x = np.linspace(rv4.ppf(0.001), rv4.ppf(0.999), 100)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.spines[\'top\'].set_visible(False) # 设置线框不可见
ax.spines[\'right\'].set_visible(False)
# pdf: Probability density function
ax.plot(x, rv1.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$t(1)$\')
ax.plot(x, rv2.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$t(2)$\')
ax.plot(x, rv3.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$t(4)$\')
ax.plot(x, rv4.pdf(x), lw = 3, alpha = 0.6, label = r\'$N(0,1)$\')
ax.legend()
# 可用 rvs 函数产生服从该分布的值
# 其中 loc 为平移量，从原先的 0~n 转变为 loc~loc+n
#r = rv.rvs(size = 1000)
plt.show()
结果如下图：
图 11：$t$ 分布概率密度图