傅里叶级数、变换和积分、$\\delta$函数阶跃函数傅里叶变换等在固体理论中的应用

傅里叶级数表达式的证明见国防科大高等数学课
南京大学电动力学书：傅里叶级数和积分、特殊函数等见南京大学电动力学书，写得好。

（1）情况对应的是：f（x）的周期为 $2 π$ 。（2）对应的是：f(x)的周期为 $2 l$ 。（3）中的（G.7）对应的是：f（x）的周期为 $2 π$ ；重要：（G.9）对应的是：f（x）的周期为 $2 l$ ，或者 $f (x)$ 是定义在有限区间中的一个函数（重要！！！原因是可以周期延拓，见“9.凝胶模型中电子-电子相互作用势的傅里叶级数展开”）;（G.12)对应的是非周期函数.

（没错误，但还是以华中师范书公式为准）

（从（G.4）能得到f(x)的展开）

（G.12）和（G.13）与数学物理方法笔记本上记的傅里叶变换不同。但都是对的，只是差一个系数1/(2pi），其实系数没关系，这些公式都是对的，因为可以在（G.12）、（G.13)中令 $F (k) = \frac{1}{2 π} \tilde{f} (k)$ 就得到和华中师范书傅里叶变换相同的表达式。我发现华中师范量子力学书中傅里叶变换表达式和数学物理方法笔记本记的傅里叶变换表达式相同，所以我觉得还是以华中师范量子力学和数理方法笔记本中的傅里叶变换表达式为准。
华中师范书傅里叶变换公式：
（G.12)
若 $f (x)$ 是实函数，则傅里叶系数 $\tilde{f} (k)$ 一般为复函数！！！
1实函数傅里叶变换的性质

1.1实函数傅里叶变换的性质

所以，实函数x(t)的傅里叶变换X(w)的共轭 X*(w)=X(-w)
1.2实偶函数傅里叶变换的性质

1.3实奇函数傅里叶变换的性质

傅里叶变换的一些其他性质见数理方法笔记本和https://blog.csdn.net/lijil168/article/details/102812091（以上实函数傅里叶变换的性质也是参考这个博客）
(G.9)傅里叶级数的e幂级数公式非常重要，固体物理中晶格势按倒格矢展开，万尼尔函数的表达式都是用了（G.9）得到的。

公式证明：

根据https://www.matongxue.com/madocs/712/（不过这个网页的最后
这里讲得太简略，其他写得还好）中的非周期函数一节：非周期函数，比如下面这个函数可以写出傅立叶级数吗？

这并非一个周期函数，没有办法写出傅立叶级数。
不过可以变换一下思维，如果刚才的方波的周期：
那么就得到了这个函数：在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数：。

傅里叶变换公式（G.12)证明过程中求和化为积分的方法称为乘 $Δ k_{n}$ 再除 $Δ k_{n}$ 法.

3.华中师范数理方法书中的证明：（其实和我前面证明（G.12)的过程一样）

4.傅里叶变换的两种形式（其实是等价的，只是不同的教材不同）、 $δ$ 函数的傅里叶变换：

一维： $δ (x - x^{'}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k (x - x^{'})} d k$ ，也即 $\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k (x - x^{'})} d k = δ (x - x^{'})$
三维： $δ^{3} (\vec{r} - {\vec{r}}^{'}) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i \vec{k} \cdot (\vec{r} - \vec{r})} d^{3} \vec{k}$

$δ$ 函数傅里叶变换的离散版本1：

(此正交归一条件是克罗内克函数，而此完备性条件其实也是 $δ$ 函数的傅里叶展开，相当于对 $δ$ 函数周期延拓，再利用李正中书（1.5.1）进行傅里叶级数展开，见李书等离激元（4.2.3））

这里k、 $p_{x}$ 是离散的：（因为箱归一化）

（这是根据曾书量子力学卷一中箱归一化一节知道可以这样证明）

$δ$ 函数傅里叶变换的离散版本2：

5个公式：

a.在大极限下有：

其中，即x方向的原胞数乘y方向的原胞数再乘z方向的原胞数（callaway中文书359页说了，取奇数只是为了数学方便）；
$K_{s}$ 是倒格矢（s是任意整数，s就是指定某一个倒格矢，没有其他含义）；
(A.4）中第二行成立的前提条件为： $k$ 和 $k^{'}$ 的取值为：

：对晶体中所有正格矢求和的含义为：

b.在大极限下有：

：对第一布里渊区求和的含义为：

c.在变为无穷大的极限下，

（这是对晶体中所有正格矢求和）

其中对 $K_{l}$ 的求和包括左右倒格矢， $Ω$ 是原胞体积。

$δ$ 函数的值就是无穷和0，所以前面的系数无所谓

d.对（A.9a），若 $k$ 和 $k^{'}$ 限制在一个布里渊区内，此时 $k$ 和 $k^{'}$ 不可能相差一个倒格矢，则只有零倒格矢有贡献，则有：

（左边是对晶体中所有正格矢求和）

e.对（A.7）取 $k$ 连续的极限，有：

证明：callaway书中文版：

注意，此页中说了，取奇数只是为了数学上方便。

5.固体物理中的傅里叶变换（其实用的是傅里叶级数表达式（G.9），不是数学中的傅里叶变换的公式）：

李正中书写得最好，见7.。
见固体物理笔记本、固体理论书。以下是白一鸣等，《固体物理学习指导及习题集》中：

其实是用了周期函数的（G.9)傅里叶级数的e幂级数公式来推导（并不是用傅里叶变换）：

这就是引入倒格子基矢、倒空间的依据！
正空间周期函数（比如晶格周期势）可以按倒格矢傅里叶展开，倒空间周期函数（周期为 $\vec{G_{h}}$ ，最小周期为b，这个周期函数可以就是布洛赫波函数！）可以按正格矢傅里叶展开：

倒空间周期函数可以按正格矢傅里叶展开的证明完全类似前面正空间周期函数可以按倒格矢傅里叶展开的证明，都是利用了（G.9)傅里叶级数的e幂级数公式，证明完全类似于：
，故省略。
注意上面倒空间周期函数可以按正格矢傅里叶展开的公式（1）中的系数 $\frac{1}{\sqrt{N}}$ 是归一化系数，是为了实现万尼尔函数的正交性和完备性的公式。
万尼尔函数：见固体理论第二课万尼尔函数.md

6.离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换

离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换 – Ji-Huan Guan 和另外 6 个页面 – 个人 – Microsoft Edge
其中公式 $| x ⟩ = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k} e^{i k x} | k ⟩$ 、 $| k ⟩ = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x} e^{- i k x} | x ⟩$
并没有错误（原因见李正中14页等，其傅里叶级数的指数上都是可以有±号），只是和我的习惯不同。我习惯的公式为：
（这两个公式的前提是将正空间的最小周期a取为1）

此博客的网站还有正方格子、六角格子的傅里叶变换等。
SSH模型的笔记中：

7.李正中书：傅里叶级数（重要）

8.阶跃函数的傅里叶变换、逆变换：

见第二章双时推迟和超前格林函数及其应用.md：
$θ (t) = - \frac{1}{2 π i} \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \frac{e^{- i x t}}{x + i η} (η = 0^{+})$ （10）
逆变换： $\frac{i}{x + i η} = \int_{- \infty}^{+ \infty} d t θ (t) e^{i x t}$ ，也即 $\int_{- \infty}^{+ \infty} d t θ (t) e^{i x t} = \frac{i}{x + i η}$ （11）
其中x为实数， $η = 0^{+}$ .

（10）证明：
数理方法87页中4.2.3这种类型的积分：

此题即应证明：

从数理方法书78页：

的（4.1.9）知，

（11）证明：

另：（11）在证明双时格林函数的莱曼表示时有用。

9.多体物理中格林函数的傅里叶变换

李正中书使用的规则是：

金老师课和nolting书中使用的规则是： $G_{A B}^{r} (ω) = \int_{- \infty}^{+ \infty} G_{A B}^{r} (t) e^{i ω t} d t .$

各种书中的双时格林函数及格林函数傅里叶变换总结：

10.凝胶模型中电子-电子相互作用势的傅里叶级数展开

snoke固体物理书689页说了，傅里叶级数展开不仅可以适用于周期函数，而且适用于在有限区间中的一个函数：

金老师高量讲义凝胶模型中，凝胶模型中电子-电子相互作用势的傅里叶级数展开：
形式1：
$\begin{matrix} (*) & \frac{1}{r} = \frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} \frac{4 π}{k^{2} + η^{2}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \end{matrix}$
也即： $\frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} \frac{4 π}{k^{2} + η^{2}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} = \frac{1}{r}$
证明：（其实是利用李正中书（1.5.1）来证）

$(*)$ 式的另一个证明方法:一些数理方法书中使用留数定理证明了:
形式2：
$\frac{e^{i η r}}{r} = \frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} \frac{4 π}{k^{2} + η^{2}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$ (也即 $\frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} \frac{4 π}{k^{2} + η^{2}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} = \frac{e^{i η r}}{r}$ )，故再令 $η = 0$ 得: $\frac{1}{r} = \frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} \frac{4 π}{k^{2}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$

11.傅里叶变换的实际含义（物理含义）：

每一个正弦函数或余弦函数都是一个“模式”， $f (ω)$ 是权重：
Briggs这本书中的傅里叶变换是定义为：

以上来源于William L. Briggs, Van Emden Henson – The DFT_ An Owners\’ Manual for the Discrete Fourier Transform-Society for Industrial Mathematics (1987)书2.2节，这本写得好，很易懂、清楚

12.离散傅里叶变换(DFT)与快速傅里叶变换(FFT)

离散傅里叶变换与连续傅里叶变换之间的关系：
Briggs这本书2.2节的一个总结：

William L. Briggs, Van Emden Henson – The DFT_ An Owners\’ Manual for the Discrete Fourier Transform-Society for Industrial Mathematics (1987)书

13.数学物理方法笔记本中傅里叶变换：

此傅里叶变换公式的一个简单证明见华中师范数理方法书245页，其实与我前面写的（G.12)的证明过程相同。
以下笔记参考华中科大的慕课“复变函数与积分变换”：

14.重要结论1：周期函数乘e指数的积分 (此结论在很多公式推导中都可以使用）

当$\pmb{k}、\pmb{k\’}$都限制在第一布里渊区，且$f(\mathbf{x})$是一个正空间周期函数时，有：

\[\begin{equation}
\int_{N \Omega} f(\vec{x}) e^{i\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right) \cdot \vec{x}} d^{3} x=\left\{\int_{\Omega_{0}} f\left(x_{0}\right) d^{3} x_{0}\right\} N \delta_{\vec{k}, \vec{k}^{\prime}}
\end{equation}
\]

其中$\Omega_0$是$R=0$对应的晶胞，$x_0$限制在$\Omega_0$中。
以上是在k离散的情况下的公式，在k连续情况下，此式虽然也成立，但还可以写成delta函数的形式，原因：

上式证明过程中用了李正中书（1.3.16）：

（(1.3.16)是在k是离散的情况下的公式。若在k连续的情况下，则因为$\Delta k=\frac{(2\pi)^3}{N\Omega}$,此式N很大，故可以认为：

\[\sum_{R_{l}} \exp \left[-\mathrm{i}\left(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime}\right) \cdot \boldsymbol{R}_{l}\right]=\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime})
\]

）

证明：

（注意，相差一个倒格矢也会等于1！）

故得证：

15.重要结论2：布洛赫波、布洛赫波的振幅的正交性、完备性

从callaway英文书29和30页知，对布洛赫波：

\[\begin{equation}
\begin{array}{l}
\int_{全空间} \psi_{n}^{*}(\vec{k}, \vec{r}) \psi_{l}(\vec{q}, \vec{l}) d^{3} r=\delta_{n l} \delta_{\vec{k}, \vec{q}} \text {. }\\
\sum_{n} \int_{B Z} \psi_{n}^{*}(\vec{k}, \vec{r}) \psi_{n}\left(\vec{k}, \vec{r}^{\prime}\right) d^{3} k=\delta\left(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right)\\
\text { if } \vec{k}=\vec{q}, 则 \int_{全} \psi_{n}^{*}(\vec{k}, \vec{r}) \psi_{l}(\vec{k}, \vec{r}) d^{3} r=\delta_{n l} \text {. }
\end{array}
\end{equation}
\]

全空间指的是$N\Omega$，N为晶胞数

对布洛赫波的振幅，只能从（7）的第一个公式得到：布洛赫波振幅的正交性：

\[\begin{equation}
\int_{\text {cell }} u_{n}^{*}(\vec{k}, \vec{r}) u_{l}(\vec{k}, \vec{r}) d^{3} r=\frac{1}{N} \delta_{n l} \text {. }
\end{equation}
\]

注意在callaway书（1.5.7）并不是这个公式，（1.5.7）是错误的，这里上面这个公式才是正确的。原因及证明见callaway英文书29页我写的笔记。

由于上式中$u_{n}^{*}(\vec{k}, \vec{r}) u_{l}(\vec{k}, \vec{r})$是正空间周期函数，故：

\[\begin{equation}
\int_{N\Omega} u_{n}^{*}(\vec{k}, \vec{r}) u_{l}(\vec{k}, \vec{r}) d^{3} r= \delta_{n l} \text {. }
\end{equation}
\]

另外，并不能从布洛赫波的完备性的公式得到一个比较好的只关于布洛赫波的振幅的完备性的公式，所以callaway书也没有提到布洛赫波振幅的完备性的公式。

k看成连续和k看成离散情况时的布洛赫波的表达式见callaway英文书28和29页：

k连续时：，正交归一性：，完备性略；

k离散时：，正交归一性：，完备性略；

设k连续时的布洛赫波函数为$\psi_{n \vec{k}}(\vec{x})$，k离散时的布洛赫波函数为$\psi^{\prime}_{n \vec{k}}(\vec{x})$, 则（1.5.5b）实际上应写为：

\[\int_{全空间} \psi_{n}^{\prime*}(\vec{k}, \vec{r}) \psi_{l}^{\prime}(\vec{q}, \vec{l}) d^{3} r=\delta_{n l} \delta_{\vec{k}, \vec{q}}\tag{1.5.5b}
\]

k离散时的布洛赫波函数和k连续时的布洛赫波函数的关系：

\[\psi^{\prime}_{n \vec{k}}(\vec{x})=\frac{{(2\pi)}^{3/2}}{(N\Omega)^{1/2}}\psi_{n \vec{k}}(\vec{x})
\]

16.重要结论3：周期函数的格林定理：实空间或倒空间的周期函数的梯度在原胞或1BZ中的积分

在A&M的固体物理书的附录I中证明了：对一个在倒空间中具有周期性的函数，对其求梯度，然后再对BZ积分，结果就是0. （此结论来自93年sipe11714页)

证明：对于k空间周期函数，在（1.1）中令u=1，即得证上面结论。

$$参考资料$$

1.“6.离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换”这部分是来源于guanjihuan的博客：https://www.guanjihuan.com/archives/812

2.白一鸣等，《固体物理学习指导及习题集》中国水利水电出版社

3.尹真《电动力学》中的附录.

4.华中师范汪德新数理方法书、量子力学书

5.Joseph Callaway – Quantum Theory of the Solid State-Academic Press (1991)
6.李正中固体理论书
其他参考资料都在内容中有提及。

本文链接：https://www.cnblogs.com/quantum-condensed-matter-physics/p/14377375.html