第三章 行列式
3.1 二阶和三阶行列式
简单介绍了下二元、三元一次方程组的求法，然后引入了行列式。
3.2 n阶行列式的定义与基本性质
定义余子式和代数余子式。
定义行列式 \(|A| = \mathrm{det} A = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} a_{i1}M_{i1} = \sum\limits_{i = 1}^n a_{i1}A_{i1}\)
注记 3.2.2
有函数 \(\mathrm{det} : M_n(\mathbb F) \to \mathbb F, A \mapsto \mathrm{det} A = |A|\)
命题 3.2.3
设 \(A\) 为上三角矩阵，则 \(|A|\) 等于主对角元素的乘积。特别地 \(|I_n| = 1\) 。
由定义可证。
命题 3.2.4
\(A\) 为 \(n\) 阶方阵且 \(B\) 是将 \(A\) 第 \(s\) 行元素乘以数 \(c\) 得到的矩阵，则 \(|B| = c|A|\) 。
用数学归纳法，然后展开看系数。
推论 3.2.5
若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 某行为 \(0\) 则 \(|A| = 0\)
注记 3.2.6
\(|cA| = c^n|A|\)
命题 3.2.7
设 \(B\) 通过交换 \(A\) 两个不同行得到矩阵，则 \(|B| = -|A|\) 。
考虑归纳法，然后考虑交换相邻两行，再推广。
推论 3.2.8
若两行完全相同或者成比例则 \(|A| = 0\) 。
命题 3.2.9
对 \(A, B, C\) 三个 \(n\) 阶方阵，若给定 \(1 \le s \le n\) 若 \(c_{sj} = a_{sj} +b_{sj}\) 其余位置 \(a_{ij} = b_{ij} = c_{ij}\) 那么 \(|C| = |A| + |B|\) 。
还是归纳法，然后展开的时候考虑一下两种项即可。
注记 3.2.10
一般来说 \(|A + B| = |A| + |B|\) 不成立。
推论 3.2.11
设 \(B\) 是将 \(A\) 将第 \(i\) 行元素乘以 \(c\) 加到第 \(j\) 行 \((i \not= j)\) 上所得到的的矩阵，有 \(|B| = |A|\) 。
综上，我们得到了 \(|P_{ij}A| = -|A|, |D_i(c)A| = c|A|, |T_{ij}(c) A| = |A|\) ，对于列变换也一样（考虑转置即可）
引理 3.2.12
- 若 \(D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)\) 则 \(|DA| = d_1 \cdots d_n |A|\) 。
- \(A\) 可以通过第三类初等变换变成 \(\mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)\) 且 \(|A| = d_1 \cdots d_n\) 。
定理 3.2.13
\(|A^T| = |A|\)
考虑把 \(A\) 化成第三类初等矩阵和对角矩阵的乘积。
定理 3.2.14
\(|AB| = |A||B|\)
同 定理3.2.13 证明即可。
推论 3.2.15
\(|A|\) 可逆 \(\Leftrightarrow |A| \not= 0\)
而且此时有 \(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)
\(\Rightarrow: |A||A^-1| = |I_n| = 1\)
\(\Leftarrow:\) 可化成对角矩阵，然后 \(\mathrm r(A) = n\) 即可
注记 3.2.16
\(|A| \not = 0\) 则 \(A\) 非奇异；\(|A| = 0\) 则 \(A\) 奇异。
定义 \(s\) 阶子式 。
命题 3.2.17
\(\mathrm r = \mathrm r(A)\) 当且仅当 \(A\) 有一个非零的 \(r\) 阶子式，且所有的 \(r+1\) 阶子式全为 \(0\) 。
先证如果存在一个非零的 \(r\) 阶子式 \(\mathrm r(A) \ge r\) ，然后考虑反证法即可。
3.3 行列式的展开和Cramer法则
定理 3.3.1
\]
只需考虑一半，另外一半用转置即可。
首先证明 \(s = t\) 的情况，可考虑交换两列后，利用定义证。
对于 \(s \not = t\) 时候，考虑把第 \(t\) 列用第 \(s\) 列替换，然后不难发现新矩阵行列式即这个求和式，显然为 \(0\) .
我们称
\begin{pmatrix}
A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1}\\
A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2}\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\
A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn}
\end{pmatrix}
\]
为 \(A\) 的伴随矩阵，由上述定理得到 \(AA^* = |A|I_n = A^*A\)
推论 3.3.2
若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1} = |A|^{-1} A^*\)
定理 3.3.4(Cramer\’s rule)
若线性方程组的系数矩阵 \(A\) 可逆，则方程组有唯一解 \(x_i = \frac{D_i}{|A|}\) 。
其中 \(D_i = \{\alpha_1, \dots, \alpha_{i – 1}, \beta, \alpha_{i + 1}, \dots, \alpha_n\}\)
证明：
有唯一解 \((x_1 \dots x_n)^T = A^{-1} (b_1 \dots b_n)^T\)由推论可知，\(A^{-1} = {|A|}^{-1} A^*\)
则 \(x_i = {|A|}^{-1} \sum_{A_{ji}}b_j = {|A|}^{-1} D_i\)
进行扩展的话，只需要令 \(x_{r + 1}, \dots, x_n\) 赋上一组解即可，
然后用这个去代回去。
例 3.3.5
归纳法计算范德蒙德行列式。
例 3.3.6
第一降阶定理
A & B\\
C & D
\end{vmatrix}
=
\begin{cases}
|A||D – CA^{-1}B| &若A可逆\\
|D||A – BD^{-1}C| &若D可逆
\end{cases}
\]
证明：
\[\begin{pmatrix}
I_m & 0\\
-CA^{-1} & I_n\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & B\\
0 & D – CA^{-1}B\\
\end{pmatrix}
\]
注记 3.3.7
第一降阶公式
当 \(A, D\) 都可逆有
\(|D + CA^{-1}B| = |A^{-1}||D||A + BD^{-1} C|\)
3.4 行列式的等价定义
定义 3.4.1
定义逆序数，偶排列，奇排列。
定理 3.4.2
\]
证明考虑展开每项，然后将选取的项标成 \(1\) ，最后调整成单位矩阵的次数。
推论 3.4.3
\(n \ge 2\) 时，奇偶排列各占一半、
证明，取 \(a_{ij} = 1\) ，有 \(|A| = 0 = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in S_n} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)}\)
推论 3.4.5
设映射
\]
满足
= \mathcal \lambda D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_n) \\
\mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i + \beta_i, \dots, \alpha_n)
= \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_n) + \mathcal D(\alpha_1, \dots, \beta_i, \dots, \alpha_n) \\
\mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_j, \dots, \alpha_n) = 0 ~若~\alpha_i = \alpha_j(i \not = j)\\
\mathcal D(\textbf e_1, \textbf e_2, \dots, \textbf e_n) = 1
\]
则作为 \(M_n(\mathbb F) \to \mathbb F\) 的函数 \(\mathcal D = \mathrm{det}\) 。
注记 3.4.6
上述 \(\mathcal D: M_n(\mathbb F) \to \mathbb F\) 为行列式函数。
引理 3.4.7
排列中交换两个数位置称作对换。
一个排列经过一次对换后奇偶性改变。
首先考虑相邻两个情况，然后推广即可。
命题 3.4.8
推广到 \(a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n}\) 的符号为 \((-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n) + \tau(j_1, \dots, j_n)}\) 。
3.5 Laplace定理与Cauchy-Binet公式
定义 3.5.1
定义 \(A\) 的一个 \(s\) 阶子式
=
\begin{vmatrix}
a_{i_1j_1} &\cdots &a_{i_1j_s}\\
\vdots &\ddots &\vdots\\
a_{i_sj_1} &\cdots &a_{i_sj_s}
\end{vmatrix}
\]
并且定义其余子式，为划去那些行与列的子式
\(M \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}\)
进一步定义代数余子式
\]
定理 3.5.2(Laplace 定理)
取定 \(s\) 和 \(1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le n\)
\sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_s \le n}
A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}
\widehat A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}
\]
证明的话，每个排列都会被枚举到，那么只需要考虑系数（此处比较复杂）
定理 3.5.4(Cauchy-Binet 公式)
设 \(A, B\) 分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 矩阵
- 若 \(m > n\) 则 \(|AB| = 0\)
- 若 \(m \le n\) 则
\]
考虑
\[\begin{vmatrix}
A & 0\\ -I_n & B
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & AB\\ -I_n & B
\end{vmatrix}\]对于右式展开前 \(m\) 行之后，考虑系数。对于左式按前 \(m\) 行展开，然后余子式，对前 \(n – m\) 列展开。最后比较系数
推论 3.5.5
设 \(A, B\) 分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 矩阵，\(s \le m\)
- 若 \(s > n\) 则 \(AB\) 所有 \(s\) 阶子式为 \(0\)
- 若 \(s \le n\) 则 \(AB\) 的 \(s\) 阶子式
\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \\
= \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_s \le n}
A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ k_1 & k_2 & \dots & k_s\end{pmatrix}
B \begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \dots & k_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}
\]
若行列取自相同行列的子式，称为主子式。
推论 3.5.6
\(AA^T\) 每个主子式都非负。
例 3.5.7(Lagrange 恒等式)
设 \(n \ge 2\) 则
(\sum_{i = 1}^n b_i^2)
– (\sum_{i = 1}^n a_ib_i)^2
= \sum_{i = 1}^n (a_ib_j – a_jb_i)^2
\]
然后对于前者 \(\ge 0\) 为 \(\text{Cauchy-Schwarz}\) 不等式。