性质编辑

①

  

；

②

  

；

③负数与零无对数.
④

  

*

  

=1；

恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）
推导：log(a) (a^N)=N
恒等式证明
在a>0且a≠1，N>0时
设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)
则有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
证明完毕

运算法则编辑

①

 
②

 
③

 
(M,N∈R)
如果

  

，则m为数a的自然对数，即

  

，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义： 若

  

则

 
基本性质：
1、

 
2、

 
3、

 
4、

 
5、

 
推导：
1、因为

  

，代入则

  

，即

  

。

2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以
4、与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
或
由基本性质2（展开

  

，如图所示）

对数基本性质4推导过程对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
推导如下： 由换底公式（见下面）[

  

是

  

，e称作自然对数的底]

换底公式的推导： 设

  

则

其中

 
得：

 
由基本性质4可得

 
再由换底公式

 

换底公式编辑

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②
对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③
③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展：
以e为底数和以a为底数的公式代换：
logae=1/（lna）

推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1

求导数编辑

(xlogax)\’=logax+1/lna
其中，logax中的a为底数，x为真数；
(logax)\’=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)\’=(lnx)\’=1/x
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